一　导论

1931年，一本德国的科学期刊上发表了一篇不算很长的论文，其标题很令人费解，叫做《论（数学原理）及相关系统的不可判定命题》。论文作者是库尔特·哥德尔，当时是维也纳大学的一位年仅25岁的年轻数学家，1938年以后，他成为普林斯顿高等研究院的终身成员。这篇论文是逻辑和数学史上的一座里程碑。1952年哈佛大学在授予哥德尔荣誉学位时，将此项工作称为现代逻辑学最重要的进展。

但是，这篇论文初次发表时，大多数数学家既不明白它的题目也不了解它的内容。在标题中提到的《数学原理》，是怀特海和罗素合写的三卷关于数理逻辑和数学基础的旷世巨著；但是对于在数学的大多数分支中要想成功地从事研究工作的人来说，熟悉这本著作却也并不是必不可少的预先要求。而且，哥德尔论文中处理的那一类问题，除了吸引少数研究者外，绝大多数人都不会感兴趣。其证明的思路在论文发表时又是如此创新，以至于只有那些密切关注着这个高度专业化的领域中技术性文献的人才能无困难地跟上其论证。尽管如此，现在人们已普遍认识到，哥德尔所得出的结论，对哲学而言，是具有革命意义的。本书的目的，就是使非专业的人士能够了解哥德尔成果的要点和其证明的轮廓。

哥德尔这篇著名的论文攻克的是数学基础的一个中心问题。这里先简要地概述一下问题产生的背景对理解论文是会有帮助的。任何曾接触过初等几何的人，无疑都会回想起它是一门演绎的学科。在经验科学中，一条定理只要和观察相一致就会被接受，但几何学与此不同。一个命题，只要它是经由明确的逻辑证明所得出的结论就是成立的，这个观念的形成可回溯到古希腊人，正是他们发明了所谓的“公理方法”，并且利用这种方法以一种系统的方式发展了几何学。

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